هندسه های نا اقلیدسی - از سینا حسینی

اشکالات وارد بر هندسه اقلیدسی :

اصل اول - از هر نقطه می‌توان خط مستقیمی به هر نقطه دیگری کشید یا اینکه کوتاه‌ترین فاصله مابین دو نقطه یک پاره خط مستقیم است .

اصل دوم - هر پاره خط مستقیم را می‌توان روی همان خط به‌طور نامحدود امتداد داد .

اصل سوم - می‌توان دایره‌ای به هر نقطه دلخواه به عنوان مرکز آن و با شعاعی مساوی هر پاره خط رسم کرد

اصل چهارم - همه زوایای قائمه با هم مساوی هستند .

اصل پنجم - از یک نقطه خارج یک خط ، یک و تنها یک خط می‌توان موازی با خط مفروض رسم کرد .

طبق تعاریف فعلی " اصل پنجم اقلیدس که ایجاز سایر اصول را نداشت ، به هیچ وجه واجد صفت بدیهی نبود . در واقع این اصل بیشتر به یک قضیه شباهت داشت تا به یک اصل .

اشیا در دنیای فیزیکی با هندسه اقلیدسی سازگارند و هندسه‌های نااقلیدسی زیر مجموعه‌ای از هندسه اقلیدسی محسوب میشوند به طور مثال یک مکعب را در نظر بگیرید که در فضای اقلیدسی ، از نظر هندسی کاملا اقلیدسی است و اگر کره محیط یا محاط آن را رسم کنیم داخل سطح کره با هندسه هذلولی و خارج سطح کره با هندسه بیضوی برسی و مطالعه میشود.

در هندسه اقلیدسی هر پاره خط مستقیمی میتواند بیانگر یک عدد باشد که بیانگر طول واقعی آن بوده و مربع و مکعب آن مقدار درستی در محاسبات ریاضی است ولی در هندسه‌های نااقلیدسی چنین نیست برای اینکه طول واقعی یک منحنی میتواند یک عدد باشد ولی این منحنی نمی‌تواند حتما و لزوما بیانگر همان عدد باشد ، برای اینکه انحنا یافته است و طول منحنی بیشتر از فاصله دو سر منحنی میباشد و این دو مقدار با هم نامساوی هستند . به طور مثال در هندسه اقلیدسی یک مربع به ضلع 1 متر بیانگر یک متر مربع است و یک مکعب به ضلع 1 متر بیانگر یک متر مکعب است ولی در هندسه‌های نااقلیدسی این مقدار‌ها متفاوت است که نیاز به در نظر گرفتن ضریبی مبنی بر درصد خطا در محاسبات داریم . اصولا انحنا در هندسه‌های نااقلیدسی ، به طور کلی نسبت به یک خط راست اقلیدسی مشخص و نسبت به یک دایره با شعاع واحد واقع بر یک صفحه مسطح اقلیدسی سنجیده میشود و صحت هندسه‌های نااقلیدسی در گرو صحت هندسه اقلیدسی است .

هندسه ی 1

سه خط موازی داریم (فاصله ها برابر نیستند)، آیا میتوان روی آنها یک مثلث متساوی الاضلاع ساخت بطوریکه هرراس روی یکی از خطوط باشد؟

خطوط موازی را به ترتیب 1و2و3 می نامیم.نقطه A راکه یکی از رئوس مثلث است، روی خط وسط در نظر می گیریم.

خط 3 را روی حول نقطه A وبه اندازه ی 60 درجه خلاف جهت عقربه های ساعت می چرخانیم.خط جدید را تصویر 3 می نامیم.

نقطه برخورد خط با تصویر 3، راس دیگر مثلث است(نقطه B).حال AB را رسم وآن را 60 درجه درجهت عقربه های ساعت می چرخانیم.
بااین حرکت مثلث AH'B روی مثلث AHC قرار می گیردوراس سوم مثلث مورد نظر بدست می آید.

1)وقتی خط 3را دوران می دهیم، آیا خط جدید خط 1 را قطع می کند؟چرا؟
2) وقتی AB را دوران می دهیم تا AC پیدا شود، چرا روی خط AC قرار می گیرد؟
3)در مثلث ABC، چرا راس A،برابر با 60 درجه می شود؟
4)چرامثلث ABC متساوی الاضلاع است؟